كيف يمكننا العثور على المضاعف المشترك الأصغر؟

هناك طريقتان للعثور على المضاعف المشترك الأصغر:

الطريقة الأولى:

  • نبدأ كل رقم من الأرقام المعطاة كقائمة.
  • ثم نبحث عن أصغر عدد مشترك لهذه المضاعفات.

مثال:

لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 4 و6.

مضاعفات 4: 4، 8، 12، 16، … مضاعفات 6: 6، 12، 18، …

أصغر عدد مشترك لهذه المضاعفات هو 12.

الطريقة الثانية:

  • نقوم بتحليل كل رقم من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
  • ثم نفكر في عدد مرات تكرار كل عامل.
  • وأخيرًا، نضرب كل عامل في أعلى تكرار له.

مثال:

لنفترض أننا نريد أصغر الرقمين 16 و25.

تحليل الرقم 16: 2^4 تحليل الرقم 25: 5^2

المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.

ملحوظة:

إذا كانت الأرقام المعطاة كبيرة، فإن الطريقة الثانية تكون أكثر فعالية من الطريقة الأولى.

شرح كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

الطريقة الأولى: طريقة المضاعفات

في هذه الطريقة، نكتب أولاً مضاعفات كل رقم معين في شكل قائمة. ثم نبحث بين هذه المضاعفات.

مثال:

لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 4 و6.

مضاعفات 4: 4، 8، 12، 16، … مضاعفات 6: 6، 12، 18، …

أصغر عدد مشترك لهذه المضاعفات هو 12.

شرح الخطوات:

  1. نبدأ بكتابة مضاعفات العدد 4.
  2. ثم نكتب مضاعفات 6.
  3. نحن نقارن المضاعفات في كلتا القائمتين.
  4. نحن نبحث عن أصغر عدد مشترك بين هذه المضاعفات.
  5. في هذا المثال، أصغر عدد مشترك هو 12.

ملحوظة:

إذا كانت الأرقام المقدمة كبيرة، فقد يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للعثور على LCM باستخدام هذه الطريقة.

الطريقة الثانية: طريقة العوامل الأولية

في هذه الطريقة، نقوم بتحليل كل رقم من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية. ثم نفكر في عدد مرات تكرار كل عامل. وأخيرًا، نضرب كل عامل في أعلى تكرار له.

مثال:

لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 16 و25.

تحليل الرقم 16: 2^4 تحليل الرقم 25: 5^2

المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.

شرح الخطوات:

  1. نقوم بتحليل كل رقم من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
  2. نحن نأخذ في الاعتبار عدد مرات تكرار كل عامل.
  3. نضرب كل عامل بأعلى تردد له.
  4. في هذا المثال، يظهر الرقم 2 أربع مرات في الرقم 16 ويظهر الرقم 5 مرتين في الرقم 25.
  5. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.

ملحوظة:

إذا كانت الأرقام المعطاة كبيرة، فهذه الطريقة أكثر فعالية من الطريقة الأولى.

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل نقوم بما يلي:

  1. نقوم بتحليل كل رقم من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
  2. نحن نأخذ في الاعتبار عدد مرات تكرار كل عامل.
  3. نضرب كل عامل بأعلى تردد له.

مثال:

لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 16 و25.

تحليل الرقم 16: 2^4 تحليل الرقم 25: 5^2

المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.

شرح الخطوات:

  1. قمنا بتقسيم العدد 16 إلى عوامله الأولية ونجد أنه يساوي 2^4.
  2. نقوم بتقسيم العدد 25 إلى عوامله الأولية ونجد أنه يساوي 5^2.
  3. نلاحظ أن الرقم 2 تكرر أربع مرات في الرقم 16 ورقم 5 تكرر مرتين في الرقم 25.
  4. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.

ملحوظة:

إذا كانت الأرقام المحددة كبيرة، فهذه الطريقة أكثر فعالية من الطريقة الأولى لأنه لا يلزم كتابة جميع مضاعفات الأرقام المحددة.

أمثلة على المضاعف المشترك الأصغر

أمثلة على طريقة المضاعفات:

  • أصغر مضاعف مشترك للعددين 2 و 3 هو 6
  • أصغر مضاعف مشترك للعددين 5 و7 هو 35.
  • أصغر مضاعف مشترك للعددين 10 و12 هو 60.

أمثلة على طريقة العامل الأولي:

  • المضاعف المشترك الأصغر بين 2^2 و3^2 هو 2^2*3^2 = 36.
  • المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 2^3 و5^2 هو 2^3*5^2 = 100.
  • المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 2^25 و2^33 هو 2^3*5 = 120.

المزيد من الأمثلة:

  • أصغر مضاعف مشترك بين العددين 10 و 15 هو 30.
  • أصغر مضاعف مشترك بين العددين 30 و40 هو 60.
  • أصغر مضاعف مشترك للعددين 60 و70 هو 140.

تطبيقات على المضاعف المشترك الأصغر:

  • يمكن استخدام المضاعف المشترك الأصغر لتوحيد المقامات في الأعداد الكسرية عن طريق ضرب كل مقام بالرقم المطلوب حتى يساوي المضاعف المشترك الأصغر.
  • يمكن استخدام LCM لحساب مقدار الوقت الذي يستغرقه عدة أشخاص لإكمال المهمة عن طريق تقسيم المهمة إلى أجزاء تتوافق مع LCM لأوقات عمل كل شخص.
  • يمكن استخدام LCM لحساب عدد الأجزاء التي يمكن تصنيعها من مادة معينة عن طريق قسمة الكمية المتاحة من المادة على LCM لأبعاد الجزء.

أكبر مضاعف مشترك

المضاعف المشترك الأكبر لعددين هو أكبر عدد يقبل القسمة على أي رقم دون باقي.

مثال:

المضاعف المشترك الأكبر للعددين 4 و6 هو 12.

للتوضيح:

الرقم 12 يقبل القسمة على الرقمين 4 و 6 بدون باق، وأي رقم أكبر من 12 لا يقبل القسمة على الرقمين 4 و 6 بدون باق.

طرق إيجاد المضاعف المشترك الأكبر:

هناك طريقتان للعثور على المضاعف المشترك الأكبر:

الطريقة الأولى:

  • نبدأ بكتابة مضاعفات كل رقم من الأعداد المعطاة في شكل قائمة.
  • ثم نبحث عن أكبر عدد مشترك بين هذه المضاعفات.

المثال السابق:

مضاعفات 4: 4، 8، 12، 16، … مضاعفات 6: 6، 12، 18، …

إذن، العدد المشترك الأكبر لهذه المضاعفات هو 12.

الطريقة الثانية:

  • نقوم بتحليل كل رقم من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
  • ثم نفكر في عدد مرات تكرار كل عامل.
  • وأخيرًا، نضرب كل عامل في أقل تكرار له.

المثال السابق:

تحليل الرقم 4: 2^2 تحليل الرقم 6: 2*3

إذن المضاعف المشترك الأكبر هو 2^2*3 = 12.

ملحوظة:

إذا كانت الأرقام المعطاة كبيرة، فإن الطريقة الثانية تكون أكثر فعالية من الطريقة الأولى.

أمثلة على المضاعف المشترك الأكبر:

  • المضاعف المشترك الأكبر للعددين 2 و3 هو 6.
  • المضاعف المشترك الأكبر للعددين 5 و7 هو 35.
  • المضاعف المشترك الأكبر للعددين 10 و12 هو 60.

تطبيقات على المضاعف المشترك الأكبر:

  • يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر لحساب عدد الصفوف أو الأعمدة في الجدول عن طريق قسمة أكبر رقم في كل عمود أو صف على المضاعف المشترك الأكبر للأرقام الموجودة في العمود أو الصف.
  • يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر لحساب عدد الأجزاء التي يمكن تصنيعها من مادة معينة عن طريق قسمة الكمية المتاحة من المادة على المضاعف المشترك الأكبر لأبعاد الأجزاء.
  • يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر لحساب المدة التي سيستغرقها عدة أشخاص لإكمال المهمة عن طريق قسمة الوقت المطلوب لإكمال المهمة على المضاعف المشترك الأكبر لوقت عمل كل شخص.

ما الفرق بين المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر مع الأمثلة؟

الفرق الرئيسي بين المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هو أن المضاعف المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقبل القسمة على كلا الرقمين، في حين أن المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر رقم يقبل القسمة على كلا الرقمين.

مثال:

المضاعف المشترك الأكبر للعددين 4 و6 هو 12، والمضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و6 هو 6.

للتوضيح:

الرقم 12 يقبل القسمة على الرقمين 4 و 6 بدون باق، وأي رقم أكبر من 12 لا يقبل القسمة على الرقمين 4 و 6 بدون باق.

الرقم 6 يقبل القسمة على الرقمين 4 و 6 بدون باق، وأي رقم أقل من 6 لا يقبل القسمة على الرقمين 4 و 6 بدون باق.

المزيد من الأمثلة:

  • المضاعف المشترك الأكبر للعددين 2 و3 هو 6، والمضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و3 هو 6.
  • المضاعف المشترك الأكبر للعددين 5 و7 هو 35، والمضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و7 هو 35.
  • المضاعف المشترك الأكبر للعددين 10 و12 هو 60، والمضاعف المشترك الأصغر للعددين 10 و12 هو 60.

تطبيقات على المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر:

  • يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر في العديد من التطبيقات العملية، مثل:
    1. الجمع بين المقامات في الكسور.
    2. احسب الوقت الذي يستغرقه عدة أشخاص لإكمال المهمة.
    3. حساب عدد القطع التي يمكن صنعها من مادة معينة.

دبلوم:

المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأقل هما مفاهيم رياضية مهمة لها العديد من التطبيقات العملية.

يتضمن المثال المضاعف المشترك الأصغر والمضاعف المشترك الأكبر

مثال:

  • لنفترض أن هناك مصنعًا ينتج قطعًا خشبية بطول 10 سم وقطعًا معدنية بطول 12 سم. تريد الشركة المصنعة تقطيع الخشب والمعدن إلى قطع متساوية الحجم حتى يمكن تصنيعها بسهولة.
  • يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لحساب أصغر حجم للقطع التي يمكن تقطيع الخشب والمعدن إليها.
  • المضاعف المشترك الأكبر للعددين 10 و12 هو 60. وهذا يعني أنه يمكن تقطيع الخشب والمعدن إلى قطع بحجم 60 سم. ومع ذلك، قد يكون هذا الحجم كبيرًا جدًا بحيث لا يمكن تصنيعه بسهولة.
  • أصغر مضاعف مشترك للعددين 10 و12 هو 6. وهذا يعني أنه يمكن تقطيع الخشب والمعدن إلى قطع بحجم 6 سم. هذا الحجم أصغر بكثير وأكثر قابلية للإدارة.
  • لذلك، يمكن للنظام قطع الخشب والمعدن إلى قطع بحجم 6 سم. وهذا يضمن أنه يمكن صنعه بسهولة دون الحاجة إلى تقطيعه إلى قطع كبيرة جدًا.

مثال آخر:

لنفترض أن هناك شركة بها موظفان، أحدهما يعمل 4 ساعات يوميًا والآخر 6 ساعات يوميًا. تريد الشركة معرفة عدد ساعات العمل التي يستغرقها كلا الموظفين لإكمال المهمة.

  1. يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لحساب عدد الساعات التي سيستغرقها كلا العاملين لإكمال المهمة.
  2. المضاعف المشترك الأكبر للعددين 4 و6 هو 12. وهذا يعني أنه يمكن لكلا العاملين إكمال المهمة خلال 12 ساعة. ومع ذلك، هذه المرة قد تكون طويلة جدا.
  3. المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و6 هو 2. وهذا يعني أنه يمكن لكلا العاملين إكمال المهمة خلال ساعتين. هذه المرة أقصر بكثير وأكثر كفاءة.
  4. لذلك، يمكن للشركة تكليف كلا العاملين بالعمل لمدة ساعتين لإنجاز المهمة. وهذا يضمن إنجاز العمل في الوقت المحدد دون الحاجة إلى توظيف عمال إضافيين.