خصائص الدائرة

وهي من الأشكال الهندسية المميزة التي ليس لها أضلاع أو زوايا محددة مثل المثلث والمربع وغيرها من الأشكال الهندسية ولكن الدائرة لها خصائص هندسية مميزة تختلف عن كثير من الأشكال الهندسية الأخرى وسنتحدث قليلا عنها فيتعلمون في هذا المقال سنتعرف على العديد من النقاط حول خصائص الدائرة ومعلومات أخرى حول هذا الشكل الهندسي. بالإضافة إلى ذلك، سنتعرف على العديد من الأمثلة التي توضح أهم خصائص الدائرة. فلنتعرف على هذه السطور فيما يلي.

ما هي أهم خصائص الدائرة؟

الدائرة هي أحد الأشكال الهندسية التي تتكون من مجموعة نقاط تقع على مسافة ثابتة من نقطة محددة، والتي تسمى في الهندسة بمركز الدائرة. للدائرة نصف قطر يمكن تعريفه بأنه المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على محيط الدائرة. ورمز هذا المركز يمثله الرمز q من أي نقطة على محيطه.

يعد الوتر الموجود في الدائرة من أهم عناصر الشكل الهندسي ولذلك يرمز له بالحرف Q. أما القطر فهما متصلان ببعضهما، وبالتالي فإن القطر يساوي ضعف نصف القطر تمامًا. س = 2س.

ومن مميزات هذا الشكل الهندسي ما يلي:

الوتر هو قطعة مستقيمة تربط بين نقطتين على الحدود. الخط الرأسي الممتد من مركز الدائرة يقسم الوتر إلى نصفين متساويين. ومن أهم خصائص الوتر في الدائرة أن الأقواس التي تشكل وحدة الدوائر تكون متساوية إذا كانت أبعاد أوتارها متساوية. على سبيل المثال، إذا كانت A – B – C – D عبارة عن سلاسل في الشكل الهندسي للدائرة، فإن ABC = CD، وبالتالي قوس ABC = قوس CD

عندما تكون الأوتار متوازية، تكون الأقواس بينهما متساوية. ولذلك، على سبيل المثال، AB يوازي CD، وبالتالي فإن القوس AD = القوس B C.

إذا تقاطع الوتران A وB وCD عند النقطة F، فإن نتيجة ضرب أجزاء الوتر الأول تساوي نتيجة ضرب أجزاء الوتر الثاني. وهكذا نجد هذه المعادلة الرياضية في رموز أقطار وتر الدائرة وهي O × B = C و × D.

الأوتار التي لها نفس الطول لها نفس المسافة من مركز الدائرة، وبالمثل، فإن الأوتار التي لها نفس الطول تتوافق أيضًا مع زوايا مركزية متساوية.

في المقابل، نفس الزوايا المركزية المقابلة للأوتار هي نفسها أيضًا.

المماس هو الخط الذي يمس الدائرة عند أي نقطة فيها، ويكون نصف قطر الدائرة عمودياً على المماس عند النقطة التي يمس فيها الدائرة ويتميز بالخصائص التالية:

في حالة رسم دائرتين من النقطة الخارجية Z بحيث تلامسان دائرة يقع مركزها عند النقطتين Q – L فإن QQ = Z

وبالمثل، الزاوية HMS = الزاوية HML

علاوة على ذلك، الزاوية mxs = الزاوية mx l.

إذا كان المماس الذي يلامس الدائرة عند النقطة A يلتقي بالوتر AB، فإن الزاوية بينهما تساوي الزاوية المحيطية ABC، التي تقابل الوتر AB.

وإذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى مماسها صغيرة، فهي أيضًا نصف قطر الدائرة.

خصائص الزاوية المحيطية: الزاوية المحيطية هي ما ينشأ في الدائرة عندما يلتقي وتران على محيط الدائرة نفسها ولها خصائص عديدة منها:

  • وهذه الزاوية تقابل نفس القوس المرسوم على محيط الدائرة.
  • الزاوية المحيطية هي 90 درجة، وهي الزاوية المحيطية في نصف الدائرة.
  • الزاوية المحيطية التي تقابل ضلعين متقابلين، وبالتالي تقابل نفس الوتر ولكن مجموع قياساتها 180 درجة.
  • كلما زاد بعد الزاوية المحيطية، زاد طول القوس المقابل.
  • الزوايا التي يشملها نفس القوس لها نفس قياس هذه الزوايا.

خصائص الزاوية المركزية للدائرة: في كل دائرة زاوية تسمى الزاوية المركزية. وهي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الزاوية، ونهايتها جميع أضلاعها على محيط الدائرة. وله العديد من الخصائص وهي:

  • قياس الزاوية المركزية للدائرة يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المرسومة على نفس القوس.
  • تكون أقواس الدائرة متساوية إذا كانت زوايا مركزها متساوية.
  • كلما زادت درجة الزاوية المركزية للدائرة، زاد طول القوس المقابل.
  • إذا كانت الزاوية المركزية = 180 درجة = π، فإن القوس الذي تشكله هذه الزاوية يمثل نصف محيط الدائرة.
  • إذا كانت الزاوية المركزية = 360 درجة = 2π، فإن القوس الذي تشكله هذه الزاوية يمثل محيط الدائرة بالكامل.
  • الزوايا المتقابلة متساوية في البعد لنفس القوس.

تطابق الدوائر: من الخصائص العامة للدائرة أن الدوائر تتطابق في المساحة إذا كانت أنصاف أقطارها متساوية.

قطر الدائرة يعتبر قطر الدائرة أحد أجزاء مساحة الدائرة. للقطر عدة خصائص، منها أن أطول وتر في الدائرة هو نفس قطر الدائرة.

المسافة الرأسية للدائرة: المسافة الرأسية بين مركز الدائرة والوتر تقل كلما زاد طول الوتر.

توازي مماسات الدائرة من خصائص الدائرة العامة هو توازي الممسات المرسومة، وخاصة المماسات المرسومة في نهايات قطر الدائرة.

خصائص المثلث المتكون من نصف قطر الدائرة: يمكننا رسم مثلث عند نصف قطر الدائرة، وهو مثلث يتكون من نصفي قطر الدائرة، أما الوتر الواصل بين طرفيه فهو واحد مثلث متساوي الساقين.

محيط الدائرة مقسومًا على القطر ثابت. عندما يتم قسمة محيط الدائرة على قطر الدائرة، تكون النتيجة ثابتًا وهو pi ويساوي عدديًا 3.142 تقريبًا.

أمثلة رياضية لتطبيق خصائص الدائرة

إذا عرفنا في النقاط السابقة ما هي خواص الدائرة سواء كانت خواص عامة أو خواص الزوايا والمستقيمات والأقواس المهمة، فإن الأمثلة التالية التي من خلالها نتعرف على النقاط التالية هي التطبيق الرياضي العملي من هذه الخصائص، وهذا يتيح لنا فهم المزيد عن هذه الخصائص، لذلك دعونا نتناول هذه الأمثلة:

المثال الأول: إذا كانت هناك دائرة مركزها M ويتقاطع المماس DA مع الدائرة عند النقطة A فإن الوتر AB يلتقي عند النقطة A، وهذا بناء على قياس الزاوية BAD = 50 درجة، فما ذلك؟ قياس الزاوية AMB؟

الحل هو: إذا كان المماس DA الملامس للدائرة عند النقطة A يلتقي بالوتر AB، فإن الزاوية بينهما تساوي الزاوية المحيطية ACB، والتي تقابل الزاوية AB المحيطية للوتر AB = 50 درجة.

ولذلك حسب الخاصية: (قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المرسومة على نفس القوس) الزاوية المركزية AMB المقابلة للوتر (AB) = 2 × الزاوية المحيطية، والتي على الوتر (AB) يتم رسمه ومنه تكون الزاوية (AMB) = 2 × 50 درجة = 100 درجة.

المثال الثاني: يتقاطع الوتران A وB وC وD عند النقطة (f) بحيث ينقسمان إلى قسمين، بحيث يكون طول الوتر الأول A و= 4 وحدات، بينما طول F وB = 6 وحدات بينما في السلسلة الثانية طول C و = 3 وحدات.

الحل: بواسطة الخاصية: (السلاسل المتقاطعة تعطي: حاصل ضرب أجزاء السلسلة الأولى يساوي حاصل ضرب أجزاء السلسلة الثانية في بعضها البعض، بينما f و dx 3 = 4 × 6. بالقسمة كلا الجانبين، والنتيجة هي أن و د = 8 وحدات.

المثال الثالث هو دائرة مركزها النقطة M ولها وتران ABC وAC. أما قياس الزاوية AMB = 90 درجة وقياس الزاوية الأقرب AMC = 110 درجة؟ باك؟

الحل: إذا كانت الزاوية AMB + الزاوية AMC + الزاوية CMB = 360 درجة، فإن 90 درجة + 110 درجة + الزاوية CMB = 360 درجة، مما يجعل الزاوية CMB = 160 درجة.

بما أن الزاوية CMB x 2 2 فإن النتيجة النهائية هي الزاوية BAC = 80 درجة.

المثال الرابع: إذا كانت الدائرة التي مركزها النقطة M تحتوي على الوترين ABC و ABC وقياس الزاوية BAC = 50 درجة، فما هو قياس الزاوية MBC؟

الحل: الزاوية bmc = 2 درجة

أما المثلث المتساوي الساقين المرسوم على نصف قطر الدائرة mbc، mb = mc، فذلك لأنها تمثل نصف قطر الدائرة، وهذا يعني أن الزاوية mbc = الزاوية mb c.

وبالتالي فإن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، وبالتالي النتيجة هي أن mbc + زاوية mbc + زاوية bmc = 180 درجة.

وبالتالي mbc + الزاوية mbc + 100 درجة = 180 درجة، مما يعني أن mbc + الزاوية mbc = 80 درجة، إذن 2 × الزاوية mbc = 80 درجة، إذن الزاوية mbc = 40 درجة.

المثال الخامس: إذا تقاطع سلسلتان A وB وC وD عند النقطة (f) واقسم كل منهما الآخر إلى جزأين، في السلسلة الأولى طول A = (x + 4) وحدات وطول F = 10 وحدات بينما كان طول السلسلة الثانية C و= (x + 1) وحدة والطول وd = 15 وحدة؟

الحل هنا يكمن في خاصية تقاطع الأوتار التي تؤدي إلى مضاعفة أجزاء الوتر الأول، وهو ما يعادل نتيجة ضرب أجزاء الوتر الثاني. ولذلك، 10 س (س + 4) = (15). x (x + 1)، وبتبسيط المعادلة تكون النتيجة 10 x + 40 = 15x + 15، 5x = 25. وبقسمة الطرفين على الرقم 5 نحصل على x = 5 وحدات.

تعرفنا في هذا المقال على السمات الرئيسية للدوائر العامة والخاصة والزوايا وغيرها، بالإضافة إلى أمثلة عليها.